Дмитрий Леонидович Гуринович
Научный руководитель Института фундаментальной математики
6 Числа арифметики Пеано не обладают необходимыми для вычислимости свойствами
Описание произведения: Числа арифметики Пеано не обладают необходимыми для вычислимости свойствами и никакое логическое расширение арифметики Пеано не создаёт им эти свойства. То есть, с точки зрения возможности применять числа арифметики Пеано в качестве вычислимых объектов внутри какой-либо теории они не были аксиоматизированы ни арифметикой Пеано, ни каким-либо иным образом. В настоящей статье обосновано наличие кризиса в нынешнем понимании вычислимости в математике и начато построение соответствующей теории, которая включает в себя замену чисел арифметики Пеано на совместимые с практической вычислимостью числа-строки при сохранении у них необходимых и корректных свойств чисел арифметики Пеано.
Ключевые слова: вычислимость, Вычислительные системы, Машина Тьюринга
Основные результаты научного произведения:
Выявлено непонимание вычислимости в математическом сообщества в настоящее время и принципиальная необходимость в построении такой теории для чисел и строк, которая обладала бы необходимыми для вычислимости свойствами. Сформулированы (построены аксиомы) для тех свойства чисел в их строковом представлении, без которых вычислимость невозможна, и которых нет в арифметике Пеано и любых арифметических расширениях арифметики Пеано.
Перспективные направления применения для дальнейших исследований и разработок: Возможность преодоления того тупика, в котором находится математика в вопросах вычислимости, когда в ИТ-сфере происходит колоссальное развитие, а в теории господствуют ложные идеи о рекурсивных функциях арифметики Пеано как подходящем инструменте для понимания вычислений. В то время как никакой возможности для понимания вычислений арифметика Пеано и её расширения дать не могут. Преодоление этого тупика понимания даст возможность решать принципиальные проблемы вычислимости и теории алгоритмов, подобные вопросу о NP ≠ P, создаст теоретические обобщения для нынешней практики в сфере ИТ, общий теоретический язык и стандарты для обучения и общения специалистов ИТ-сферы.
Приоритетные направления развития науки, технологий и техники в РФ: Информационно-телекоммуникационные системы.
Рассмотрены невычислимые интерпретации арифметики с такой логикой, которая исключает наличие вычислимых интерпретаций и показано, что арифметика не в состоянии отделить такую «логику невычислимости» от её отрицания. Затем сформулированы аксиомы – которые не могут быть сформулированы на языке арифметики, и которые позволяют отделять принципиально невычислимые интерпретации от вычислимых для чисел-строк. Даны модифицированные аксиомы арифметики, совместимые с аксиомами, упомянутыми в предыдущем абзаце, рассмотрены причины более чем полутаровекового заблуждения математического сообщества в понимании вычислимости для натуральных чисел и разобран пример на эту тему – статья String theory. Даны оставшиеся аксиомы (в данной статье) для теории строк и чисел-строк, намечены дальнейшие пути исследования и расширения данной теории.
Впервые опубликовано 30.01.2023