Наглый частный случай, о том, как Крипке нашёл у Непейводы частный случай и стал классиком вместо него

Это увлекательная и почти детективная история о том, как открытие русского математика Николая Николаевича Непейводы (родился в  1949 году в России) перекочевало в виде своего же частного случая в науку логики в США, а работа Саула Аарона Крипке (Saul Aaron Kripke, 1940–2022, Принстон, США) проделавшего этот фокус, принесла ему мировую известность и славу классика логики. При этом Крипке не только ни разу не сослался на работы Непейводы, но даже ни разу не упомянул о нём ни в своих работах, ни в своих публичных выступлениях.

При этом Крипке после 1975 года всю свою жизнь ссылался на то, что свой метод он сам открыл ещё в 1972 году, хотя и  опубликовал его в 1980 году, речь идёт о преодолении логико-позитивистских ограничений первой половины XX века методами расширенной модельной семантики.

Так ли это? Разберём подробнее.

Полный текст размещён выше.

Сокращённый по техническим причинам текст и оглавление размещены ниже, также как и текст открытия Непейводы, диссертация

Читал ли Крипке работы Непейводы?

В российской научной практике существовало и продолжает существовать жесткое требование Высшей аттестационной комиссии (ВАК): защита диссертации допускалась только после публикации ее основных результатов в рецензируемой научной печати. Западные специалисты (включая Соломона Фефермана, Андреа Кантини и других) анализировали и цитировали концепцию Непейводы по текстам как минимум двух полностью доступных им источников:

— статье в «Математических заметках» (1973, т. 13, № 5), которая переводилась на английский язык как «Mathematical Notes» и закупалась всеми ведущими университетами США, конечно же включая и Принстонский университет, ведущим логиком которого являлся Крипке.

— кросс-реферативных обзоров в международном реферативном журнале «Zentralblatt MATH» и американском «Mathematical Reviews», где референты-математики публиковали подробные аннотации на английском языке сразу после выхода оригинальных статей Непейводы в ДАН СССР и «Математических заметках».

Российская математика находится в фокусе внимания западных учёных, тем более это было актуально в период научно-технического соревнования двух мировых систем. Поверить в то, что ведущий логик Принстона не следил за работами и достижениями коллег, для чего ему нужно было просто зайти в библиотеку, может только очень наивный американский читатель, тем более что интернета в то время не было, и библиотека наряду с подпиской была единственным источником новой информации об исследованиях и публикациях коллег.

Тождество работ Крипке и Непейводы, или наглый частный случай

Одновременное индуктивное определение областей истинности и ложности формул языка в работах Непейводы математически изоморфно монотонному оператору Крипке в трехзначной логике Стронга Клини. Более того, аппарат Непейводы изначально нацелен на более широкие предикативные теории второго порядка и неограниченную свертку, что делает концепцию Крипке частным семантическим случаем для теории истины.

Напомним, что изоморфность означает одну и ту же содержательную форму при наличии разных элементов и обозначений.

Одновременное индуктивное определение истинности и ложности формул в языке Непейводы математически эквивалентно трехзначной оценке по схеме Стронга Клини, которую Крипке использовал для построения своей минимальной неподвижной точки. Таким образом, то, что в западной традиции принято считать оригинальным открытием Крипке, было в строгой математической форме сформулировано и доказано в Непейводой на два года раньше.

В работе Непейводы вводится фундаментальное понятие «виртуальной реализуемости» (обозначаемое как CR), которое математически и концептуально предвосхищает понятие «не-ложности» (или совместимости с истиной) в трехзначных семантиках. Симультанное построение актуальной реализуемости (R) и виртуальной реализуемости (CR) на ординальных уровнях у Непейводы работает в точности как динамическое расширение областей истинности и ложности монотонного оператора Крипке, что делает работу Непейводы концептуальным первоисточником метода.

Трехзначная логика, неявно возникающая в индуктивной семантике Непейводы через баланс между реальной и виртуальной реализуемостью, полностью изоморфна сильной трехзначной логике Клини, которую Крипке использовал для оценки предложений на неподвижных точках. При этом, если Крипке строит теорию для изолированного предиката истины, то Непейвода решает глобальную задачу для предикативных систем второго порядка с неограниченной сверткой, доказывая, что парадоксальные формулы (такие как формула Рассела или Лжеца) естественным образом изолируются («не интерпретируются») на начальных шагах индукции.

Кем стал в результате Крипке, и кем стал Непейвода

Крипке стал профессором Принстонского университета, профессором Университета Нью-Йорка, почётным профессором Университета Небраски в Омахе (1977), Университета Джонса Хопкинса (1997), Хайфского университета (1998), Пенсильванского университета (2005) и Бухарестского университета (2011), получил премию:

— Рольфа Шока по логике и философии (2001) от Шведской королевской академии наук — награду, которую часто называют философским эквивалентом Нобелевской премии;

— Говарда Бермана за выдающиеся достижения в гуманитарных науках (Принстон, 1988).

Также Крипке стал Членом Американской академии искусств и наук, Американского философского общества, Европейской академии наук и искусств, Норвежской академии наук, а также членом-корреспондентом Британской академии, стал стипендиатом престижных программ Фулбрайта и Гуггенхайма, стал учредителем Saul Kripke Center — организации, которая занимается расшифровкой, сохранением и публикацией аудиозаписей и черновиков этого автора, зарплата Крипке только в Университете Нью-Йорка составляла 170 000 долларов (13 260 000 рублей) в год.

Доктор наук, профессор Непейвода является преподавателем одного из провинциальных российских вузов, с соответствующим уровнем дохода.

Полное научное обоснование заимствования Крипке у Непейводы

Проблема семантической замкнутости формальных языков и связанных с ней парадоксов самореференции (таких как парадокс Лжеца, парадокс Рассела, парадокс Ришара) на протяжении десятилетий оставалась одним из наиболее фундаментальных вызовов для математической логики, аналитической философии и оснований математики.

В мировой историографии логики и семантики принято считать, что радикальный концептуальный прорыв в решении проблемы семантической замкнутости формальных языков и связанных с ней вышеупомянутых парадоксов самореференции, был осуществлен американским логиком и философом Солом Крипке в его знаменитой статье «Outline of a Theory of Truth», опубликованной в США в ноябре 1975 года.

В этой публикации Крипке предложил модельно-теоретический аппарат, использующий частично определенный предикат истины, монотонные операторы оценки и обобщенную теорему о неподвижной точке для построения строгой математической семантики, в которой язык может содержать свой собственный предикат истины, проще говоря, функцию, которая принимает предложение в качестве аргумента и возвращает значение «истина» (true), если предложение соответствует действительности, и «ложь» (false) в противном случае.

Однако детальный историко-математический, синтаксический и концептуальный анализ первоисточников свидетельствует о том, что математический фундамент и сама индуктивная конструкция, по недоразумению приписываемые С. Крипке, были разработаны, формализованы и применены для решения семантически изоморфных задач как минимум за два года до публикации этой первой работы Крипке.

В 1973 году русский математик Н.Н. Непейвода защитил в МГУ кандидатскую диссертацию «Предикативные теории второго порядка с неограниченным правилом свертки» и опубликовал фундаментальную работу «Новое понятие предикативной истины и определимости» (A new concept of predicative truth and definability).

В этих трудах Непейвода построил исчерпывающую индуктивную семантику для предикативной истины, оперирующую неограниченным пониманием самореферентных утверждений через механизм трансфинитной рекурсии и конструктивных ординалов Клини, формируя в точности ту же самую топологию неподвижных точек в трехзначной логике, которая была опубликована Крипке лишь два гола спустя после защиты диссертации Непейводы.

 Модельно-теоретический аппарат неподвижных точек Крипке (1975) концептуально, структурно и математически вторичен по отношению к индуктивной семантике предикативной истины, разработанной Непейводой в 1973 году.

Логико-математические системы обоих авторов структурно изоморфны в части построения частичного предиката истины.

При этом подход Непейводы обладает не только неоспоримым историческим приоритетом, но и, в ряде аспектов, большей математической и алгоритмической строгостью благодаря своей вычислительной, конструктивной природе.

Для адекватного понимания значимости и масштаба теории Непейводы следует упомянуть о том, что классическая теория множеств и логическая семантика в определённый момент развития столкнулись с непреодолимым концептуальным барьером: любые попытки ввести в язык «множество всех множеств» (универсальную свертку) или «предикат, истинный для всех истинных утверждений данного языка» приводили к разрушению теории.

 Как отмечает Непейвода во введении к своей диссертации 1973 года, при построении математики на основе теории множеств выявились колоссальные затруднения, связанные с отсутствием реальной субстанции под понятием множества как исходным понятием.

Множества в классической математике могут быть охарактеризованы лишь аксиоматически, и принципиальный недостаток этого подхода был выявлен теоремой Гёделя о неполноте, а также работами Коэна о независимости континуум-гипотезы.

Возникла проблема множеств-«призраков», которые не могут быть никаким образом однозначно охарактеризованы (например, неизмеримое множество действительных чисел).

Самый существенный недостаток употребления понятия множества состоял в его неэффективности: классическая математика не делает различия между объектами, описывающими эффективный процесс построения, и теми, которые принципиально не могут задавать такой процесс.

В области семантики ситуация была аналогичной.

Альфред Тарский, американский математик, родившийся в Российской Империи, доказал, что предикат , удовлетворяющий интуитивно необходимой схеме эквивалентности (Т-схеме)  для всех предложений  языка , не может быть определен внутри самого языка , если этот язык подчиняется законам классической логики и достаточно богат для кодирования собственного синтаксиса.

Следствием этого стала иерархия Тарского , где истинность предложений языка (или уровня)  может обсуждаться только в строго отделенном метаязыке . Это искусственное стратификационное ограничение создавало огромные трудности для оснований математики, в частности, для теории категорий, где естественно рассматривать категорию всех категорий, и для формализации семантики естественного языка, который по своей природе является семантически замкнутым. (1)

 К началу 1970-х годов в мировой науке возникла острая необходимость в так называемых «бестиповых теориях» (type-free theories), которые позволили бы избежать парадоксов не за счет жесткого синтаксического запрета (подобного иерархиям Рассела или Тарского), а за счет ослабления лежащей в основе логики или изменения самой семантики предикации.

Исследователи осознали, что лишь конструктивная часть обычных рассуждений требуется для вывода противоречий, и парадоксы представляют собой проблему как для конструктивиста, так и для классического логика.

 Именно в этой напряженной интеллектуальной атмосфере параллельно возникли два подхода, направленных на преодоление барьера Тарского:

1. Конструктивно-математический подход в России, представленный фундаментальными исследованиями Н.Н. Непейводы (под руководством чл.-корр. АН СССР А.А. Маркова и доцента А.Г. Драгалина), сфокусированный на спасении неограниченного правила свертки для нужд эффективной математики.
2. Логико-философский подход на Западе, представленный С. Крипке, а также работами Р. Мартина, П. Вудраффа и ранними идеями М. Фиттинга, этот подход сфокусирован на формализации естественного языка и разрешении парадокса Лжеца.

Оба подхода пришли к использованию частичных моделей, трансфинитной индукции и трехзначной логики Клини.

Архитектура индуктивной семантики предикативной истины Н.Н. Непейводы (1973)

Концепция Непейводы была мотивирована масштабной задачей: сохранить как можно большую часть классической теории, развивая теорию множеств «конструктивными» методами. От множеств, используемых в эффективной математике, Непейвода потребовал, чтобы они были определимы формулой теории, чтобы смысл формул сводился к алгоритмическим процессам (интуиции всеобщности и понятию осуществимости), и чтобы для достаточно простых множеств сохранялась обычная логика.

 Для достижения этой цели Непейвода строит иерархию формальных языков, начиная с простейшего языка.

Синтаксис и выразительная сила языка

Базовый язык  опирается на фундаментальнейшее логическое средство — интуицию всеобщности.

В этом языке отсутствуют пропозициональные связки (такие как импликация или дизъюнкция), но присутствует квантор всеобщности  и предикат принадлежности .

Важнейшей инновацией синтаксиса является введение предикаторов. Если  — формула, а  — переменная, то выражение  является предикатором, играющим роль абстракции множества (свертки). Формула  читается как «терм  принадлежит предикатору из таких , что ».

Язык принципиально допускает самореференцию: формула  внутри предикатора  может содержать упоминания самого этого предикатора.

Таким образом, в синтаксис языка изначально заложена возможность формирования классических парадоксальных объектов, например, множества всех множеств, не содержащих себя.

Смысл формул в языке  задается алгоритмом расшифровки . Если мы сталкиваемся с формулой , алгоритм расшифровывает ее как  (результат подстановки терма  вместо переменной  в формулу ). Если процесс расшифровки зацикливается (как в случае с формулой , где  — гёделев номер предикатора парадокса Рассела ), формула не получает истинностного значения.

 Непейвода доказал (Лемма Непейводы 1.2.3), что даже такой скромный по выразительным средствам язык способен выражать понятие применимости алгоритма к слову (проблема остановки) без использования квантора существования , а также описывать запирание универсального дерева кортежей примитивно-рекурсивной функцией.

Это доказывает высокую алгоритмическую плотность предложенной семантики.

Индуктивное определение через конструктивные ординалы и реализуемость в языке

Подлинный прорыв, предвосхитивший результаты задолго до Крипке, происходит во второй части работы Непейводы при переходе к языку .

В этот язык добавляется связка импликации . Ввиду отсутствия классической бивалентной семантики для самореферентных формул, Непейвода строит семантику языка  на основе сложного, многоуровневого понятия реализуемости, используя теорию конструктивных ординалов Клини.

Конструктивные ординалы обеспечивают алгоритмически контролируемое продвижение в бесконечность. Непейвода определяет частично-рекурсивные функции для ординального сложения, умножения и возведения в степень, строго обосновывая возможность индуктивных определений по ординалам Клини.

 Непейвода вводит два параллельных, взаимосвязанных понятия, зависящих от ординального уровня :

1. — число  реализует формулу  на уровне . Это означает, что на шаге  у нас есть конструктивно верифицированное обоснование истинности .
2. — число  виртуально реализует формулу  на уровне . Это понятие интерпретируется как возможность того, что  когда-нибудь (на более высоком уровне) реализует формулу , или как невозможность алгоритмического опровержения этой возможности средствами, имеющимися у нас на уровне .

Определение этих понятий идет одновременной трансфинитной индукцией по ординалу . Для понимания генезиса механизма неподвижных точек критически важен пункт определения для импликации.

Это определение демонстрирует механику возникновения трехзначной семантики. В отличие от стандартной реализуемости по Клини, реализация заключения находится не только по реализации посылки, но и по тому, что в будущем может стать такой реализацией (виртуальной реализации).

Монотонность оценки и изоляция парадоксов

Центральным математическим свойством, обеспечивающим существование семантической модели, является монотонность оператора оценки. В своей Лемме 2.1.2 Непейвода доказывает фундаментальный факт:

• Если и , то . (Действительная реализуемость монотонно возрастает: то, что обосновано, остается обоснованным).
• Если и , то . (Виртуальная реализуемость монотонно убывает: по мере роста ординала возможные реализации подвергаются всё более строгим ограничениям).

На нулевом шаге реализованы только элементарные истины, а для неэлементарных формул постулируется, что виртуально их может реализовать что угодно ( для любой неэлементарной ). В дальнейшем количество подтвержденных истин возрастает, а пространство «возможных» реализаций сужается.

 

Совпадение этих двух понятий, когда формула одновременно не может быть реализована и не может быть виртуально реализована, то есть конструктивно опровергнута, дает нам ложные утверждения, выражаемые через отрицание . Формулы же, которые остаются виртуально реализуемыми, но никогда не становятся реализуемыми (например, парадокс Рассела ), образуют класс бессмыслиц (истинностных зияний).

В Лемме 2.1.4 Непейвода доказывает: «Пусть  — гёделев номер предикатора . При любом  и любом натуральном , верно  и неверно ». Следовательно, ни при каком конструктивном ординале никакое число не реализует парадоксальную формулу, но и не опровергает её. Это точная алгоритмическая формализация того, что Крипке назовет «неукорененностью» (ungroundedness).

Трехзначная логика Клини как эмерджентное свойство системы Непейводы

Хотя Непейвода строит свою теорию в терминах строгой конструктивной реализуемости, получаемая им пропозициональная логика полностью изоморфна сильной трехзначной логике Клини. В главе 3 своей диссертации, в разделе 3, Непейвода явно исследует получившуюся логику, вводя сокращения для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и эквивалентности.

Николай Николаевич констатирует: «В виде таблиц истинности логику языка  можно представить следующим образом… Таким образом, мы получаем минимальную трехзначную логику».

∨	И	Л	Б
И	И	И	И
Л	И	Л	Б
Б	И	Б	Б

 

&	И	Л	Б
И	И	Л	Б
Л	Л	Л	Л
Б	Б	Л	Б

 

⊃	И	Л	Б
И	И	Л	Б
Л	И	И	И
Б	И	Б	Б

И — Истина (реализуемо), Л — Ложь (опровержимо), Б — Бессмыслица (виртуально реализуемо, но не реализуемо).

Представленные матрицы истинности являются точными, буквальными копиями таблиц для сильной трехзначной логики Клини (Strong Kleene Logic), которая разработана для вычислений с частичными рекурсивными функциями.

Этот результат неопровержимо доказывает, что индуктивный процесс Непейводы порождает свой частный случай, частичную модель, семантика логических связок в которой точно соответствует тому, что будет предложено в западной литературе позже как основа «модели Крипке». (1)

 Модельно-теоретический аппарат С. Крипке (1975)

Американец Сол Крипке подошел к проблеме семантической замкнутости с позиций разрешения парадокса Лжеца для естественных языков. Крипке сообщил в своей работе то, что и так понятно, а именно что в естественном языке мы не приписываем уровни (индексы) предикату истины.

Утверждение «Все, что говорит Джон, — истинно» может быть парадоксальным или вполне безобидным в зависимости от эмпирических фактов (от того, что именно сказал Джон). Если Джон сказал: «Снег бел», утверждение истинно. Если Джон сказал: «Все, что говорит Никсон, — ложь» (в то время как Никсон говорит: «Все, что говорит Джон, — ложь»), возникает парадокс.

Для адекватного моделирования этого феномена Крипке ввел концепцию частичного предиката истины . Семантика языка при этом строится не в одной завершенной двузначной модели, а через бесконечную последовательность частичных моделей.

Механизм монотонного оператора и достижение неподвижных точек

Архитектура системы Крипке базируется на классической теории множеств и обобщенной теореме о неподвижной точке для монотонных операторов:

1. Базовая модель и частичная интерпретация: Задается базовая модель (например, стандартная модель арифметики) и частично определенный предикат истины, который имеет экстенсионал  (множество кодов безусловно истинных предложений) и антиэкстенсионал  (множество кодов ложных предложений). Множества  и  не пересекаются, но их объединение не обязано покрывать весь универсум. На начальном этапе оба множества пусты: . (3)
2. Оператор скачка (Jump Operator): Определяется оператор . Если мы имеем частичную интерпретацию для предиката , мы можем оценить истинность сложных предложений языка, используя матрицу сильной трехзначной логики Клини (Strong Kleene Logic). (2, 4)
3. Обновление экстенсионалов: Предложения, которые получают итоговое значение «Истина» в этой частичной модели (исходя из текущих значений ), образуют новое множество . Предложения, получающие значение «Ложь», образуют . Таким образом, .
4. Монотонность: Крипке доказывает монотонность оператора . В сильной логике Клини увеличение информации в базовых предикатах (переход от истинностного зияния к определенному значению «истина» или «ложь») никогда не меняет уже установленные строгие истинностные значения других формул, а может лишь превратить их из неопределенных в определенные. Следовательно, если и , то . (5)
5. Теорема о неподвижной точке: согласно обобщенной теореме Тарского-Кнастера о неподвижной точке для монотонных операторов над полными решетками, оператор должен иметь неподвижную точку. То есть существует пара , такая что . (5)
6. Трансфинитная индукция: минимальная неподвижная точка достигается трансфинитной итерацией оператора , начиная с абсолютно пустой интерпретации. Последовательность строится классическим теоретико-множественным образом: , , а для предельных ординалов . Из соображений мощности множества (модель ограничена мощностью континуума или алеф-нуль для арифметики), на некотором ординале процесс обязан стабилизироваться. (10)

В полученной минимальной неподвижной точке предложение  истинно тогда и только тогда, когда  истинно. Таким образом, Крипке спасает наивную Т-схему (проблему экстенсиональности) в рамках неклассической логики. (2, 4)

 Предложение Лжеца («Это предложение ложно») не попадает ни в , ни в  ни на одном этапе трансфинитной индукции. Оно навсегда остается в зоне истинностного зияния и классифицируется Крипке как неукорененное (ungrounded).

В этом и состоит его знаменитое решение Крипке парадокса Лжеца.

Сравнительный анализ работ Непейводы и Крипке

Детальное сопоставление двух аппаратов — индуктивной семантики Непейводы (1973) и теории неподвижных точек Крипке (1975) — выявляет абсолютный концептуальный, структурный и логический изоморфизм их центральных механизмов, при котором теория Непейводы обладает явным временным приоритетом и, в некоторых аспектах, большей математической строгостью и общностью. (3)

 Изоморфизм индуктивных процессов оценки

В основе теории Крипке лежит трансфинитная последовательность приближений к экстенсионалу и антиэкстенсионалу предиката истины: . На каждом шаге к множеству истин добавляются те предложения, истинность которых может быть установлена на основе истинности предложений из предыдущего шага.

В основе теории Непейводы лежит трансфинитная рекурсия по конструктивным ординалам для определения предиката  (истинность на уровне ) и  (виртуальная истинность на уровне ). Подобно Крипке, Непейвода начинает с базовых (элементарных) истин на шаге . Подобно Крипке, его оператор оценки базируется на монотонном росте подтвержденных истин.

 

Характеристика	Н.Н. Непейвода (1973)	С. Крипке (1975)
Целевой предикат	Предикатор принадлежности  (универсальная свертка)	Предикат истины
Базовая логика оценки	Конструктивная реализуемость, порождающая сильную логику Клини	Сильная 3-значная логика Клини
Тип индукции	Рекурсия по конструктивным ординалам  Клини	Индукция по классическим теоретико-множественным ординалам
Стартовая точка	Элементарные истины на	Пустой экстенсионал
Монотонность	Лемма 2.1.2: Если  и , то	Оператор  при
Статус парадоксов	«Бессмыслица» (виртуально реализуемо, но не реализуемо ни на каком )	«Неукорененность» (ungrounded, не попадает ни в , ни в )
Изоморф Т-схемы		$

 

Лемма 2.1.2 Непейводы есть не что иное, как строгое конструктивное доказательство монотонности оператора оценки, которое Крипке использует как основу для применения теоремы о неподвижной точке.

Алгоритм расшифровки Непейводы  математически изоморфен оператору скачка  у Крипке.

Топология трехзначной логики и обработка парадоксов

Как было детально показано выше, матрицы истинности для пропозициональных связок, полученные Непейводой в результате анализа свойств реализуемости, абсолютно тождественны матрицам сильной трехзначной логики Клини.

 Оба автора идентично решают проблему семантических парадоксов.

При этом понятие «ungrounded» у Крипке и понятие «бессмыслица» у Непейводы выполняют абсолютно идентичную семантическую функцию: они обеспечивают надежную изоляцию патологической самореференции в зоне истинностного зияния (truth-value gap) без разрушения глобальной логической структуры языка.

Утверждение Лжеца не сводит систему к противоречию , оно просто бесконечно осциллирует между фазами оценки, никогда не оседая в подтвержденном экстенсионале. (5)

 Разрешение проблемы экстенсиональности (Т-схемы)

Главная техническая цель Крипке состояла в получении модели, где предложение  и приписывание ему предиката истины  имеют одинаковое истинностное значение (наивная Т-схема, или свойство прозрачности). В терминах внутренних и внешних теорий, обсуждаемых Халбахом и Хорстеном, система Крипке нацелена на уважение «наивности» истины внутри неклассической логики. (2, 4)

Непейвода ставил более амбициозную задачу: сохранение как можно большей части классической теории множеств с неограниченным правилом свертки (Comprehension Axiom). Его язык допускает формулы вида , где предикатор  является мощнейшим обобщением функции истины. В своей «Основной лемме о сводимости» (Лемма 2.4.5) Непейвода доказывает: .

Поскольку трансфинитная индукция в системе Непейводы доходит до стабилизации (неподвижной точки), он получает полную эквивалентность между  и .

Эта теорема Непейводы представляет собой точный математический и концептуальный аналог эквивалентности Крипке между истинностью высказывания и истинностью приписывания ему предиката истины.

Более того, предикат истины легко моделируется в системе Непейводы как частный случай предикатора принадлежности.

 Различия в математическом фундаменте: конструктивное превосходство Непейводы

При полном концептуальном изоморфизме двух теорий, математический аппарат Непейводы обладает отличительными особенностями, которые делают его систему более строгой с точки зрения теории доказательств и теории вычислимости.

Крипке строит свою иерархию, опираясь на классическую наивную теорию множеств и классические трансфинитные ординалы Кантора-фон Неймана. Трансфинитная индукция Крипке продолжается до тех пор, пока не будет достигнута мощность модели (что гарантирует остановку по тривиальным теоретико-множественным причинам кардинальности). Для счетных языков (например, стандартной модели арифметики) минимальная неподвижная точка Крипке достигается на ординале  (первом неконструктивном ординале, ординале Черча-Клини). (3)

Однако в классической парадигме Крипке этот ординал возникает как побочный, «внешний» продукт применения абстрактной теоремы о неподвижной точке.

Обычная практика установления существования неподвижных точек использует ординально индексированные последовательности аппроксимаций, что, как замечает М. Фиттинг, иногда требует больше «математической параферналии», чем нужно. (10)

Непейвода, будучи блестящим представителем русской школы конструктивной математики, с самого начала строит свою семантику исключительно на конструктивных ординалах Клини (множество ).

В его системе нет абстрактных «завершенных» бесконечностей. Каждый уровень истины  алгоритмически связан с предыдущими через примитивно-рекурсивные функции (ординалы вида ).

Это означает, что семантика Непейводы не просто констатирует факт существования неподвижной точки где-то в платоновском универсуме множеств, а дает точное теоретико-алгоритмическое описание процесса развертывания истины. Использование аппарата гёделевой нумерации, конструктивных ординалов и частично-рекурсивных функций в работе Непейводы 1973 года делает его теорию не просто предвосхищением модели Крипке, но ее точным конструктивным аналогом, бесшовно интегрированным в теорию алгоритмов.

 Более того, в главе 3 своей диссертации Непейвода глубоко исследует структуру формул, получивших истинностные значения, и классифицирует их по числу перемен кванторов (классы , ).

Непейвода доказывает так называемую теорему отделимости (Separation Theorem): если области истинности и ложности формулы  могут быть отделены всюду осмысленной формулой, то  может быть приведена к предваренной нормальной форме с определенным числом кванторов.

Он устанавливает жесткую взаимно-однозначную связь между своей индуктивной семантикой, иерархией степеней неразрешимости Клини (гиперарифметические множества) и языком разветвленного анализа (ramified analysis).

Крипке же касается вопроса структуры получающихся множеств лишь поверхностно, оставляя детальное исследование сложности спектра неподвижных точек будущим поколениям исследователей (Бёрджесс, Феферман, Макги).

Таким образом, Непейвода еще в 1973 году предвосхитил не только саму конструкцию неподвижной точки, но и ее глубокий теоретико-доказательственный анализ.

Рецепция в мировом логическом сообществе

Анализ цитирований и обзоров в работах ведущих мировых логиков подтверждает, что математический аппарат неподвижных точек для частичного предиката истины (и неограниченной свертки) был впервые реализован именно Н.Н. Непейводой.

Однако в силу несправедливого положения вещей работа Непейводы не получила того же немедленного широкого философского резонанса, что и статья Крипке, несмотря на то, что некоторые исследователи однозначно зафиксировали приоритет русского математика:

Свидетельства Соломона Фефермана (Solomon Feferman)

Один из крупнейших математических логиков XX века, Соломон Феферман (США, Стэнфордский университет), в своей основополагающей, классической работе 1984 года «Toward Useful Type-Free Theories. I» (К полезным бестиповым теориям. Часть I) проводит глубокий историографический и математический анализ теорий истины и свертки. (1)

В этом труде Феферман прямо и недвусмысленно констатирует:

• «Статья Непейводы представляет инфинитарную систему для трехзначной логики Клини в контексте теории чисел. Хотя заявленный интерес там относится к предмету предикативности, по сути, он строит частичную модель для (СА) [Аксиомы Неограниченного Свертывания] в этой системе. (У Непейводы было несколько смежных статей в период 1973-1974 гг.)».
• Говоря о Крипке, Феферман пишет: «Крипке представляется первой статьей с семантической стороны (on the semantical side), в которой используется индуктивное построение моделей неподвижной точки, в данном случае с сильной 3-значной логикой Клини». (1)

Формулировки Фефермана имеют абсолютно критическое значение для нашего научного обоснования. Феферман четко и профессионально разделяет математическую конструкцию (Непейвода «строит частичную модель для (СА) в инфинитарной системе для трехзначной логики Клини») и ее философское, описательное позиционирование (Крипке написал первую статью «с семантической стороны», то есть ориентированную на философию языка и семантику естественных языков).

Поскольку аппарат неподвижной точки для частичной истины и аппарат для неограниченной абстракции (свертки) математически полностью изоморфны (истина есть лишь частный случай предиката), Феферман де-факто признает, что Непейвода реализовал эту математическую структуру первым.

Его система 1973 года была полноценным работающим аппаратом, который Крипке в 1975 году установил в тело философии языка. (1) 

Подтверждение Андреа Кантини (Andrea Cantini)

Выдающийся итальянский логик Андреа Кантини (Andrea Cantini), специализирующийся на формальных аксиоматических теориях истины и бестиповых системах, также построил свои ранние фундаментальные исследования непосредственно на базе формализма Непейводы, а не Крипке.

В своей статье 1980 года «A note on three-valued logic and Tarski theorem on truth definitions» (Заметка о трехзначной логике и теореме Тарского об определениях истины) (9)

Кантини пишет:

• «Мы вводим понятие семантической замкнутости для теорий путем формализации понятия истины Непейводы [by formalizing Nepeivoda notion of truth]. Теорема Тарского об определениях истины обсуждается в свете трехзначной логики Клини (здесь рассматриваемой с формальной реинтерпретацией логических констант)». (9)

Далее, как отмечает тот же Феферман в своей работе: «Кантини [1979] адаптировал Непейводу и Фефермана [1975] к семантической бестиповой теории». (1)

Эти подтверждения из авторитетных западных академических источников непреложно доказывают: мировая логическая элита (Феферман, Кантини и др.) прекрасно осознавала, что формальный аппарат, позволяющий обойти ограничительную теорему Тарского с использованием трехзначной логики Клини и индуктивного трансфинитного построения семантической замкнутости, был заложен именно Непейводой в 1973 году. (1)

Трансформация этого аппарата в то, что сегодня широко известно как «модели Крипке для теории истины», была не созданием нового математического объекта ex nihilo, из ничего, а всего лишь переносом уже существующей и притом надежно работающей предикативной семантики Непейводы в другую сферу применения.

Почему вдруг Крипке, а не Непейвода?

Если математический аппарат Непейводы концептуально первичен и в полной мере предвосхищает теорию неподвижных точек, возникает закономерный вопрос: а почему тогда именно работа Крипке 1975 года считается эпохальной и рубежной в философии языка, логике и когнитивных науках, в то время как имя Непейводы покрыто пеленой забвения и известно преимущественно специалистам по теории доказательств?

В центре внимания Непейводы: фундаментальная математика, включая логику

Диссертация Непейводы 1973 года была направлена на решение  глубоких проблем оснований математики. После краха наивной канторовской теории множеств и ограничительных теорем Гёделя возникли серьезные концептуальные трудности с «отсутствием реальной субстанции под понятием множества». Непейвода, как конструктивист, стремился спасти неограниченное правило свертки (comprehension rule) — возможность создавать множества по любому синтаксическому условию  — для нужд конструктивной (эффективной) математики, избегая при этом «множеств-призраков».

В центре его внимания находились:

1. Алгоритмическая вычислимость и тезис Чёрча.
2. Конструктивная интерпретация арифметических формул (проблема Маркова-Лоренцена).
3. Построение мощных полуформальных систем (таких как система ПВ) с инфинитарным -правилом Карнапа.

Индуктивная семантика и трехзначная логика были для Непейводы феноменально глубоко разработанными инструментами для достижения главной цели — строгого математического доказательства того, что язык с неограниченной абстракцией и самореференцией имеет корректную вычислительную модель, в которой парадоксы не взрывают теорию, а аккуратно блокируются на уровне «нереализуемости» (бессмыслицы).

Статья Непейводы называлась «Новое понятие предикативной истины и определимости», и термин «истина» здесь употреблялся в смысле истинности математических предложений в рамках наивного анализа. (8)

Вектор применения открытий Непейводы усилиями Крипке: естественный язык и парадокс Лжеца

Крипке писал для широкого круга философов, лингвистов и семантиков. Его статья 1975 года начинается не с тяжеловесных формул ординальной рекурсии, а с анализа обыденных предложений: примера с Джоном («Все, что говорит Никсон, — ложь») и Уотергейтским скандалом. (2, 4)

Крипке показал, что парадоксальность — это не жесткое внутреннее синтаксическое свойство предложения, как думал Бертран Рассел, создавая свою громоздкую теорию типов, а семантическое, контингентное свойство, зависящее от случайных эмпирических фактов.

Крипке сфокусировался исключительно на одном предикате — предикате истины . Он взял готовый математический инструментарий (трехзначная логика Клини, теорема о неподвижной точке монотонного оператора над решетками, концептуально известная со времен Тарского и Кнастера) и применил его к проблеме Лжеца.

Успех и колоссальная цитируемость работы Крипке обусловлены ее обыденной ясностью, литературным стилем и прямой ориентацией на решение двухтысячелетней проблемы философии языка, понятной каждому гуманитарию, а не узкоспециализированной проблемы теории доказательств. (2, 4)

Если смотреть с точки зрения фундаментальной архитектуры формальных систем, теория Крипке является всего лишь частным случаем, сужением фокуса на один предикат истины, значительно более мощной и общей бестиповой теории множеств с неограниченной сверткой, которую построил Непейвода.

Экстенсионал предиката истины  у Крипке математически изоморфен экстенсионалу предикатора Гёделевых номеров истинных формул в индуктивной системе Непейводы.

 На основании изложенного мы можем с абсолютной научной строгостью констатировать следующее:

1. Математическая идентичность базовых механизмов: и система Непейводы (1973), и система Крипке (1975) используют механизм монотонного наращивания экстенсионала и антиэкстенсионала самореферентных утверждений через трансфинитную рекурсию/индукцию. Обе системы достигают стабильного состояния (неподвижной точки), в котором парадоксальные утверждения навсегда исключаются из бивалентной оценки.
2. Тождество логического базиса: обе теории естественным образом порождают и опираются на сильную трехзначную логику Клини. У Непейводы это минимальная трехзначная логика с семантикой «бессмыслицы», выведенная из свойств ординальной реализуемости; у Крипке — матрица Клини с семантикой «неукорененности» (ungrounded). Матрицы истинности для конъюнкции, дизъюнкции и импликации в обеих работах абсолютно изоморфны. (1)
3. Хронологический и концептуальный приоритет: Н.Н. Непейвода опубликовал свою работу «Новое понятие предикативной истины и определимости» и защитил кандидатскую диссертацию, содержащую полное, строгое алгоритмическое описание этого инфинитарного аппарата, в 1973 году. С. Крипке опубликовал свои результаты на два года позже, в 1975 году.
4. Признание мировым научным сообществом: ведущие мировые специалисты по бестиповым теориям и формальным теориям истины (С. Феферман, А. Кантини) в своих ретроспективных аналитических работах конца 1970-х – начала 1980-х годов прямо и недвусмысленно указывали на то, что Непейвода первым построил инфинитарную систему и частичную модель для аксиомы неограниченного свертывания в трехзначной логике Клини. (1) Аппарат Непейводы активно использовался Кантини для формализации семантической замкнутости еще до того, как «модели Крипке» окончательно стали единственным стандартом де-факто в западной литературе. (9)
5. Методологическая и алгоритмическая строгость: Аппарат Непейводы, будучи глубоко укорененным в теории алгоритмов, избегает неэффективного использования классической теории множеств, оперируя исключительно конструктивными ординалами Клини ( ) и алгоритмами конструктивной расшифровки. Это делает его систему не просто предвосхищающим аналогом, но, с точки зрения конструктивизма и теории доказательств, значительно более детально проработанной математической реализацией концепции семантической замкнутости.

Опираясь на приведенные факты, можно сделать однозначный вывод: модельно-теоретический аппарат неподвижных точек Крипке (1975), несмотря на его влияние на аналитическую философию, когнитивные науки и лингвистику, является концептуально, структурно и математически вторичным по отношению к индуктивной семантике предикативной истины и неограниченной свертки, разработанной русским математиком Н.Н. Непейводой в 1973 году.

Применение готового математического объекта к решению философской проблемы парадокса Лжеца (Крипке) в исторической ретроспективе по недоразумению затмило собой фундаментальное первоначальное создание Непейводой самого этого математического объекта в рамках конструктивной теории множеств, что требует восстановления исторической и научной справедливости.

Мы не уверены, что Николая Николаевича вслед за Крипке примут в члены американских академий, но мы точно уверены в том, что принятие в члены Российской академии наук и присуждение степени почётного профессора МГУ являются для Непейводы абсолютно заслуженными и необходимыми мерами прижизненного признания.

Оригинальный текст диссертации Н.Н. Непейводы

Список литературы

1. Toward Useful Type-Free Theories. I Solomon Feferman The Journal of Symbolic Logic, Vol. 49, No. 1. (Mar., 1984), pp. 75-111. https://www.impan.pl/~kz/truthseminar/Feferman_TypeFreeI.pdf
2. THE POWER OF NAIVE TRUTH https://as.nyu.edu/content/dam/nyu-as/faculty/documents/Hartry%20Field_Power%20of%20Naive%20Truth-Dec.pdf
3. FRIEDMAN AND THE AXIOMATIZATION OF KRIPKE’S THEORY OF TRUTH — Princeton University https://www.princeton.edu/~jburgess/Friedman.pdf
4. Outline of a Theory of Truth Saul Kripke The Journal of Philosophy, Vol. 72, No. 19, Seventy-Second Annual Meeting American Phil – CUNY https://www.impan.pl/~kz/truthseminar/Kripke_Outline.pdf
5. kripke’s theory of truth — richard kimberly heck https://rkheck.frege.org/philosophy/pdf/notes/KripkesTheoryOfTruth.pdf
6. Н.Н. Непейвода «Предикативные теории второго порядка с неограниченным правилом свёртки», диссертация … кандидата физико-математических наук, 1973г.  https://search.rsl.ru/ru/record/01009715748?ysclid=mraccqz13o68364836 
7. Systems of predicative analysis1 | The Journal of Symbolic Logic | Cambridge Core https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-symbolic-logic/article/systems-of-predicative-analysis1/9F09B687DBF0240D4D74D447319076D5 
8. Does Quantum Physics Require a New Logic? — ResearchGate https://www.researchgate.net/publication/278687986_Does_Quantum_Physics_Require_a_New_Logic
9. Andrea Cantini Master of Philosophy Professor (Full) at University of Florence — ResearchGate https://www.researchgate.net/profile/Andrea-Cantini-2 
10. Notes on the Mathematical Aspects of Kripke’s Theory of Truth — Project Euclid https://projecteuclid.org/journals/notre-dame-journal-of-formal-logic/volume-27/issue-1/Notes-on-the-mathematical-aspects-of-Kripkes-theory-of-truth/10.1305/ndjfl/1093636525.pdf 
11. Н.Н. Непейвода «Новое понятие предикативной истинности и определённости», Математические заметки, т.13, 1973 г. https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mzm&paperid=7178&option_lang=rus&ysclid=mracfv26v3409522348 
12. Semantics and the Liar Paradox | Semantic Scholar https://www.semanticscholar.org/paper/Semantics-and-the-Liar-Paradox-Visser/ad95865e90b9d83bc75193fdce2740f316819979 
13. Paradoxes, Self-Reference and Truth in the 20th Century — OUCI https://www.researchgate.net/publication/251471170_Paradoxes_Self-Reference_and_Truth_in_the_20th_Century 
14. THEORY OF DECISION-MAKING: THE LOGICAL-MATHEMATICAL ASPECTS https://www.researchgate.net/publication/327814005_THEORY_OF_DECISION-MAKING_THE_LOGICAL-MATHEMATICAL_ASPECTS 
15. Н.Н. Непейвода «Предикативная и конструктивная истинность в наивном анализе», тезисы доклада на II Всесоюзной конференции по математической логике, Математический Институт им. В. А. Стеклова. Москва, 1972.
16. Непейвода Н.Н. «Предикативная осмысленность и разветвлённый анализ», Доклады Академии наук СССР, представлено академиком А. Н. Колмогоровым в 1972г. https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dan&paperid=50418&option_lang=rus&ysclid=mrac45hr8q327237060 
17. Непейвода Н.Н. «Об одном обобщении иерархии Клини-Мостовского», Доклады Академии наук СССР, представлено академиком А. Н. Колмогоровым в 1972г. https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=dan&paperid=50440&option_lang=rus&ysclid=mrac1tku81703194609